欧拉函数,欧拉函数

代码将来再补

欧拉函数,

欧拉函数

我们用$\phi(n)$代表欧拉函数

定义:$\phi(n)$表示对于整数$n$,小于等于$n$中与$n$互质的数的个数

代码将来再补

性质

1.$\phi(n)$为积性函数

2.$\sum_{d|n}\phi(d)=n$

3.$1$到$n$中与$n$互质的数的和为$n*\dfrac{\phi(n)}{2}(n>1)$

欧拉函数

我们用$\phi(n)$表示欧拉函数

定义:$\phi(n)$表示对于整数$n$,小于等于$n$中与$n$互质的数的个数

测算情势

比方我们需要统计$\phi(n)$

分境况研讨

性质

1.$\phi(n)$为积性函数

2.$\sum_{d|n}\phi(d)=n$

3.$1$到$n$中与$n$互质的数的和为$n*\dfrac{\phi(n)}{2}(n>1)$

1.当$n=1$时

很明显,答案为$1$

测算办法

假设我们需要总计$\phi(n)$

分情形商讨

2.当$n$为质数时

据悉素数的概念,答案为$n-1$

(仅有$n$与$n$不互质)

1.当$n=1$时

很明显,答案为$1$

3.当$n$为合数时

俺们早已知道了$n$为素数的状况

不妨对$n$举行质因数分解

设$n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}…*a_k^{p_k}$

假设$k=1$

那么$\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$

证明:

考虑容斥,与一个数互素的数的个数就是这么些数减去与它不互素的数的个数

因为$p$是素数,所以在$p^k$中与其不互素的数为$1*p$,$2*p$….$p^{k-1}*p$,有$p^{k-1}$个

得证

 

当$k\neq 1$时

$$\phi(n)$$

$$=\varphi \left(
a^{p_{1}}_{1}a^{p_{2}\ldots
}_{2}a^{Pk}_{k}\right)$$

$$=\prod
^{k}_{i=1}a^{P_i}-a^{P_{i}-1}_{i}$$

$$=\prod
^{k}_{i=1}a^{Pi}_{i}(1-\dfrac
{1}{p_{i}})$$

$$=n*\prod
^{k}_{i=1}(1-\dfrac
{1}{p_{i}})$$

 

2.当$n$为质数时

基于素数的定义,答案为$n-1$

(仅有$n$与$n$不互质)

4.Euler筛法

因为欧拉函数是积性函数

据此得以应用线性筛法

3.当$n$为合数时

大家已经领会了$n$为素数的气象

不妨对$n$举办质因数分解

设$n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}…*a_k^{p_k}$

假设$k=1$

那么$\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$

证明:

考虑容斥,与一个数互素的数的个数就是那么些数减去与它不互素的数的个数

因为$p$是素数,所以在$p^k$中与其不互素的数为$1*p$,$2*p$….$p^{k-1}*p$,有$p^{k-1}$个

得证

 

当$k\neq 1$时

$$\phi(n)$$

$$=\varphi \left( a^{p_{1}}_{1}a^{p_{2}\ldots
}_{2}a^{Pk}_{k}\right)$$

$$=\prod ^{k}_{i=1}a^{P_i}-a^{P_{i}-1}_{i}$$

$$=\prod ^{k}_{i=1}a^{Pi}_{i}(1-\dfrac {1}{p_{i}})$$

$$=n*\prod ^{k}_{i=1}(1-\dfrac {1}{p_{i}})$$

 

4.Euler筛法

因为欧拉函数是积性函数

就此得以应用线性筛法

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$\phi(n)$表示欧拉函数 定义: $\phi(n)$
代表对此整数$n$,小于等于$n$中与$n$互质的数的个数 性质…

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