欧拉函数。欧拉函数,

代码以后再次补偿

欧拉函数,

欧拉函数

我们用$\phi(n)$代表欧拉函数

定义:$\phi(n)$代表对于整数$n$,小于等于$n$中及$n$互质的累的个数

代码以后又上

性质

1.$\phi(n)$为积性函数

2.$\sum_{d|n}\phi(d)=n$

3.$1$到$n$中以及$n$互质的累累之以及也$n*\dfrac{\phi(n)}{2}(n>1)$

欧拉函数

我们用$\phi(n)$代表欧拉函数

定义:$\phi(n)$代表对整数$n$,小于等于$n$中同$n$互质的再三的个数

算办法

若我们要计算$\phi(n)$

分割情况讨论

性质

1.$\phi(n)$为积性函数

2.$\sum_{d|n}\phi(d)=n$

3.$1$到$n$中以及$n$互质的一再之同为$n*\dfrac{\phi(n)}{2}(n>1)$

1.当$n=1$时

很明显,答案为$1$

算方法

如果我们要计算$\phi(n)$

细分情况讨论

2.当$n$为质数时

冲素数的概念,答案吧$n-1$

(仅有$n$与$n$不互质)

1.当$n=1$时

很明显,答案为$1$

3.当$n$为合数时

咱俩既明白了$n$为素数的景象

不妨对$n$进行抵押因数分解

设$n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}…*a_k^{p_k}$

假设$k=1$

那么$\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$

证明:

设想容斥,与一个数互素的多次的个数就是以此累减去同它不互素的数的个数

坐$p$是素数,所以在$p^k$中与其不互素的多次为$1*p$,$2*p$….$p^{k-1}*p$,有$p^{k-1}$个

得证

 

当$k\neq 1$时

$$\phi(n)$$

$$=\varphi \left(
a^{p_{1}}_{1}a^{p_{2}\ldots
}_{2}a^{Pk}_{k}\right)$$

$$=\prod
^{k}_{i=1}a^{P_i}-a^{P_{i}-1}_{i}$$

$$=\prod
^{k}_{i=1}a^{Pi}_{i}(1-\dfrac
{1}{p_{i}})$$

$$=n*\prod
^{k}_{i=1}(1-\dfrac
{1}{p_{i}})$$

 

2.当$n$为质数时

根据素数的概念,答案也$n-1$

(仅有$n$与$n$不互质)

4.Euler筛法

以欧拉函数是积性函数

故而可使用线性筛法

3.当$n$为合数时

我们既清楚了$n$为素数的情况

不妨对$n$进行抵押因数分解

设$n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}…*a_k^{p_k}$

假设$k=1$

那么$\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$

证明:

考虑容斥,与一个数互素的屡屡之个数就是这数减去跟她不互素的数之个数

盖$p$是素数,所以在$p^k$中与其不互素的多次为$1*p$,$2*p$….$p^{k-1}*p$,有$p^{k-1}$个

得证

 

当$k\neq 1$时

$$\phi(n)$$

$$=\varphi \left( a^{p_{1}}_{1}a^{p_{2}\ldots
}_{2}a^{Pk}_{k}\right)$$

$$=\prod ^{k}_{i=1}a^{P_i}-a^{P_{i}-1}_{i}$$

$$=\prod ^{k}_{i=1}a^{Pi}_{i}(1-\dfrac {1}{p_{i}})$$

$$=n*\prod ^{k}_{i=1}(1-\dfrac {1}{p_{i}})$$

 

4.Euler筛法

以欧拉函数是积性函数

据此好动用线性筛法

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$\phi(n)$代表欧拉函数 定义: $\phi(n)$
代表对于整数$n$,小于等于$n$中以及$n$互质的数的个数 性质…

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