欧拉函数

代码未来再补

欧拉函数,

欧拉函数

我们用$\phi(n)$表示欧拉函数

定义:$\phi(n)$表示对于整数$n$,小于等于$n$中与$n$互质的数的个数

代码未来再补

性质

1.$\phi(n)$为积性函数

2.$\sum_{d|n}\phi(d)=n$

3.$1$到$n$中与$n$互质的数的和为$n*\dfrac{\phi(n)}{2}(n>1)$

欧拉函数

我们用$\phi(n)$表示欧拉函数

定义:$\phi(n)$代表对此整数$n$,小于等于$n$中与$n$互质的数的个数

计量方法

假若大家要求总括$\phi(n)$

分境况研究

性质

1.$\phi(n)$为积性函数

2.$\sum_{d|n}\phi(d)=n$

3.$1$到$n$中与$n$互质的数的和为$n*\dfrac{\phi(n)}{2}(n>1)$

1.当$n=1$时

很明显,答案为$1$

算算方法

假诺大家要求计算$\phi(n)$

分情状钻探

2.当$n$为质数时

基于素数的定义,答案为$n-1$

(仅有$n$与$n$不互质)

1.当$n=1$时

很明显,答案为$1$

3.当$n$为合数时

作者们早就领会了$n$为素数的图景

无妨对$n$进行质因数分解

设$n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}…*a_k^{p_k}$

假设$k=1$

那么$\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$

证明:

怀念容斥,与三个数互素的数的个数就是以此数减去与它不互素的数的个数

因为$p$是素数,所以在$p^k$中与其不互素的数为$1*p$,$2*p$….$p^{k-1}*p$,有$p^{k-1}$个

得证

 

当$k\neq 1$时

$$\phi(n)$$

$$=\varphi \left(
a^{p_{1}}_{1}a^{p_{2}\ldots
}_{2}a^{Pk}_{k}\right)$$

$$=\prod
^{k}_{i=1}a^{P_i}-a^{P_{i}-1}_{i}$$

$$=\prod
^{k}_{i=1}a^{Pi}_{i}(1-\dfrac
{1}{p_{i}})$$

$$=n*\prod
^{k}_{i=1}(1-\dfrac
{1}{p_{i}})$$

 

2.当$n$为质数时

依照素数的定义,答案为$n-1$

(仅有$n$与$n$不互质)

4.Euler筛法

因为欧拉函数是积性函数

为此能够运用线性筛法

3.当$n$为合数时

大家已经领悟了$n$为素数的情形

无妨对$n$进行质因数分解

设$n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}…*a_k^{p_k}$

假设$k=1$

那么$\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$

证明:

思考容斥,与三个数互素的数的个数就是那么些数减去与它不互素的数的个数

因为$p$是素数,所以在$p^k$中与其不互素的数为$1*p$,$2*p$….$p^{k-1}*p$,有$p^{k-1}$个

得证

 

当$k\neq 1$时

$$\phi(n)$$

$$=\varphi \left( a^{p_{1}}_{1}a^{p_{2}\ldots
}_{2}a^{Pk}_{k}\right)$$

$$=\prod ^{k}_{i=1}a^{P_i}-a^{P_{i}-1}_{i}$$

$$=\prod ^{k}_{i=1}a^{Pi}_{i}(1-\dfrac {1}{p_{i}})$$

$$=n*\prod ^{k}_{i=1}(1-\dfrac {1}{p_{i}})$$

 

4.Euler筛法

因为欧拉函数是积性函数

进而能够动用线性筛法

http://www.bkjia.com/cjjc/1268268.htmlwww.bkjia.comtruehttp://www.bkjia.com/cjjc/1268268.htmlTechArticle欧拉函数, 代码以往再补 欧拉函数 大家用
$\phi(n)$表示欧拉函数 定义: $\phi(n)$
代表对此整数$n$,小于等于$n$中与$n$互质的数的个数 性质…

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注